Pattern avoidance in alternating permutations and tableaux ( extended abstract )

We give bijective proofs of pattern-avoidance results for a class of permutations generalizing alternating permutations. The bijections employed include a modified form of the RSK insertion algorithm and recursive bijections based on generating trees. As special cases, we show that the sets A2n(1234) and A2n(2143) are in bijection with standard Young tableaux of shape 〈3〉. Alternating permutations may be viewed as the reading words of standard Young tableaux of a certain skew shape. In the last section of the paper, we study pattern avoidance in the reading words of standard Young tableaux of any skew shape. We show bijectively that the number of standard Young tableaux of shape λ/μ whose reading words avoid 213 is a natural μ-analogue of the Catalan numbers. Similar results for the patterns 132, 231 and 312. Résumé. Nous présentons des preuves bijectives de résultats pour une classe de permutations à motifs exclus qui généralisent les permutations alternantes. Les bijections utilisées reposent sur une modification de l’algorithme d’insertion “RSK” et des bijections récursives basées sur des arbres de génération. Comme cas particuliers, nous montrons que les ensembles A2n(1234) et A2n(2143) sont en bijection avec les tableaux standards de Young de la forme 〈3〉. Une permutation alternante peut être considérée comme le mot de lecture de certain skew tableau. Dans la dernière section de l’article, nous étudions l’évitement des motifs dans les mots de lecture de skew tableaux genéraux. Nous montrons bijectivement que le nombre de tableaux standards de forme λ/μ dont les mots de lecture évitent 213 est un μ-analogue naturel des nombres de Catalan. Des résultats analogues sont valables pour les motifs 132, 231 et 312. Resumen. Presentamos pruebas biyectivas de resultados de “evasión de patrones” para una clase de permutaciones que generalizan permutaciones alternantes. Las biyecciónes utilizadas incluyen una modificación del algoritmo de inserción de RSK y una biyección recursiva basada en árboles generatrices. Mostramos, como casos especiales, que los conjuntos A2n(1234) y A2n(2143) están en biyección con los tableaux de Young estándares de forma 〈3〉. Las permutaciones alternantes pueden ser entendidas como palabras de lectura de tableaux de Young estándares de cierta forma sezgada. En la ultima sección del articulo, expandimos nuestro estudio al considerar evasión de patrones en las palabras de lectura de tableaux de Young estándares de cualquier forma sezgada. Mostramos biyectivamente que el número de tableaux de Young estándares de forma λ/μ cuyas palabras de lectura evitan 213 es un μ-anólogo de los números de Catalán y resultados similares para los patrones 132, 231 y 312.